学部物理 / 力学 · 試作

力学ラボ

式では追いにくいところを、動かして確かめるためのページです。二重振り子、位相空間、回転座標系の3つを試作しました。

ほぼ同じ出発点が、なぜ別の動きになるのか

二重振り子を2つ、初期角度をわずかにずらして同時に動かします。最初は重なって見えますが、しばらくすると別々の動きになります。

A B(Aより θ1 を δ だけ大きくしたもの)
AとBの差(縦軸は対数)。右上がりの間は、差が指数関数的に広がっています。
再生速度
経過時間0.0 s
AとBの差 |Δ|0
広がる速さ λ(目安)計測中
Aのエネルギーのずれ0

見どころ

  • 差のグラフが右上がりの直線になっている間は、差が指数関数的に増えています。直線の傾きが、カオスの強さを表すリアプノフ指数 λ です。
  • 差が 1 rad 前後で頭打ちになると、AとBは無関係な動きをします。δ を 10-3 から 10-6 に変えても、頭打ちまでの時間は ln(1000)/λ ほどしか延びません。
  • エネルギーのずれは、数値計算の精度の目安です。刻み 2 ms の4次ルンゲ・クッタ法で、m = 1 kg、ℓ = 1 m として計算しています。
L = ½(m1+m2)ℓ12ω12 + ½m2ℓ22ω22 + m2ℓ1ℓ2ω1ω2cos(θ1−θ2) + (m1+m2)gℓ1cosθ1 + m2gℓ2cosθ2　(ωi = dθi/dt) d/dt(∂L/∂ωi) = ∂L/∂θi

試作版です。数値はすべてブラウザ内で計算しています。